已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图)，易证BM＋DN＝MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图)，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

如图所示，已知抛物线y＝x²－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请直接写出M点的坐标；否则，请说明理由．

如图，二次函数y＝x²＋px＋p的图象与x轴交于A、B两点，A的坐标为(－1\2，0)，其对称轴为x＝3\4．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)过y轴上一点M(0，m)作x轴的平行线l，若l与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

(3)在二次函数图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(10，0)，(2，4)．

(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；

(2)若P为抛物线上异于C的点，且△OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标；

(3)若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M，探究：抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q，使△AQD是等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．

(1)求点A，B，C的坐标．

(2)当△ABC为等腰三角形时，求点D的坐标．

(3)在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

如图．抛物线y₁＝ax²－2ax＋b经过A(－1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．

(1)求此地物线的解析式；

(2)若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x＝m，x＝n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．

(1)如图，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________；

(2)如图，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

(3)如图，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．

(可利用(2)得到的结论)

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t(秒)．

(1)当MN∥AB时，求t的值；

(2)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；

(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．

你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)