刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；图②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________．

(填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，

求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x．

(1)在△ABC中，AB＝________；

(2)当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；

(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)顶点为C(1，1)且过原点O.过抛物线上一点P(x，y)向直线y＝作垂线，垂足为M，连FM(如图)．

(1)求字母a，b，c的值；

(2)在直线x＝1上有一点F(1，)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

(3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

如图，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3；抛物线y＝－x²＋bx＋c经过坐标原点O和x轴上另一点E(4，0)

(1)当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图所示)．

①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．

(Ⅰ)试比较EO、EC的大小，并说明理由；

(Ⅱ)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点，且QF＝，抛物线y＝mx²＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；

(Ⅳ)在(Ⅲ)的条件下，若抛物线y＝mx²＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由．

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

(1)求证：BF＝FD；

(2)点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形，如不能，请说明理由，如能，求出此时∠A的度数．

已知二次函数y＝x²＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，－3)．

(1)填空：b＝________，c＝________；

(2)如图，点Q从O出发沿x轴正方向以每秒4个单位运动，点P从B出发沿线段BC方向以每秒5个单位运动，两点同时出发，点P到达点C时，两点停止运动，设运动时间为t s，过点P作PH⊥OB，垂足为H．

①求线段QH的长(用含t的式子表示)，并写出t的取值范围；

②当点P、Q运动时，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y＝x²＋4x＋m(m为常数)经过点(0，4)．

(1)求m的值；

(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴(设为直线l₂)与平移前的抛物线的对称轴(设为l₁)关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．

①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；

②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l₂相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l₂被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数y＝ax²＋2x＋3的图像与x轴交于点A、点B(点B在X轴的正半轴上)，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y＝kx＋3，又tan∠OBC＝1，

(1)求a、k的值；

(2)探究：在该二次函数的图像上是否存在点P(点P与点B、C不重合)，使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请你说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12 cm、6 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A、B，且18a＋c＝0．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由．