为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED.

如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，求DB的长.

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

老师要求同学们在图①中内找一点P，使点P到OM、ON的距离相等．
小明是这样做的：在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB，取AB中点P，点P即为所求．
请你在图②中的内找一点P，使点P到OM的距离是到ON距离的2倍．要求：简单叙述做法，并对你的做法给予证明．

在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F．

（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．

如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形△ABC和△DEF，试证这两个三角形相似．

网格中每个小正方形的边长都是1.
(1)将图1中画一个格点三角形DEF，使得△DEF≌△ABC

(2)将图2中画一个格点三角形MNL，使得△MNL∽△ABC,且相似比为2:1

(3)将图3中画一个格点三角形OPQ，使得△OPQ∽△ABC，且相似比为:1

已知.如图，点D、E分别是在AB，AC上，.求证：DE∥BC

阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA,OB交于点C，D．

①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；
②证明①中的结论．
（2）将三角板的直角顶点P在射线ＯＭ上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）.