（12分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D，旋转角为．

（1）当点D′恰好落在EF边上时，则旋转角α的值为________度；

（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，是否存在旋转角α，使△DCD′与△CBD′全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．

（1）30；（2）证明见试题解析；（3）能．或． 【解析】 试题分析：（1）根据旋转的性质得到CD′的长，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，得到∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α的度数； （2）由G为BC中点可得CG=CE，再根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，再根据“SAS”可判断△...

将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．

（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．

【解析】 （1）①证明：由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB。 ∴△ABD为等边三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。 ∴DA∥BC。 ②猜想：DF=2AF。证明如下： 如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG， 由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF， ∵在△DBG与△ABF中，DB=AB，∠BDG=∠BAF，DG...

某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

（1）证明见解析；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可； （2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案． 试题解析：（1）∵用两块完全相同的且含60°...

如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

【解析】 （1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。 又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°。 ∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C。 ∴AE=BE，BE=BC。∴AE=BC。 （2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF； 由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，...

在实数，-， ， ，3.14 中，无理数有（ ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

B 【解析】试题分析：根据无理数是无限不循环小数，可得-， 是无理数. 故选：B

已知一个正方形的边长为a，面积为S，则（ ）

A. S = B. S的平方根是a

C. a是S的算术平方根 D. a=±

C 【解析】因为S=a2，所以： A.错误； B.S的算术平方根是a，所以B错误； C.a是S的算术平方根，正确； D.因为a＞0，所以a=，所以D错误. 故选C.

若点P（x，5）在第二象限内，则x应是（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 有理数

B 【解析】在第二象限时，横坐标＜0，纵坐标＞0，因而就可得到x＜0，即可得解． 【解析】 ∵点P（x，5）在第二象限， ∴x＜0，即x为负数． 故选B． “点睛”解决本题解决的关键是熟记在各象限内点的坐标的符号，第一象限点的坐标符号为（+，+），第二象限点的坐标符号为（-，+），第三象限点的坐标符号为（-，-），第四象限点的坐标符号为（+，-）．

下列函数中，是一次函数的有（ ）

（1）y=πx；（2）y=2x﹣1；（3）y=；（4）y=2﹣3x；（5）y=x2﹣1．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

C 【解析】y=πx属于正比例函数，是特殊的一次函数，属于一次函数；y=2x?1，y=2?3x符合一次函数的定义，属于一次函数，y=属于反比例函数,y=x2﹣1属于二次函数.综上所述，一次函数的个数是3个。故选：B.

点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是( )

A. 距点O 4 km处 B. 北偏东40°方向上4 km处

C. 在点O北偏东50°方向上4 km处 D. 在点O北偏东40°方向上4 km处

D 【解析】根据方位角的概念可得点A位于O点北偏东40°方向上4km处,故选D.

在平面直角坐标系中，点P（-1，5）在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

B 【解析】点P(-1，5)的横坐标为负，纵坐标为正，所以点P在第二象限. 故选B.