【例3】 设函数f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,则

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)当a≥1时,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.

(2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,满足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

评注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.

【例1】 已知f(x)=4x²-2x+1,g(x)=，求f(),f(-x),g(),f［g(x)］,g［f(x)］.

解:f()=4()²-2?+1=7,

f(-x)=4?(-x)²-2(-x)+1=4x²+2x+1,

g()==,

f［g(x)］=4［g(x)］²-2［g(x)］+1

=4?()²-2?+1

=,

g［f(x)］==

=.