Question

过抛物线y²=4x的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（　　）

• A、1条
• B、2条
• C、3条
• D、不确定

Answer 1

分析：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．分类讨论：当AB⊥x轴时，|AB|=2p，直接验证即可；当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用弦长公式即可解出．

解答：解：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．
①当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，不满足题意，应舍去．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) y2=4x

，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
∴|AB|=x₁+x₂+p．
∴

2k2+4

k2

+2=8，化为k²=1，解得k=±1．
综上可知：过焦点且被抛物线截得弦长为8的直线有且只有两条：y=±（x-1）．
故选：B．

点评：本题考查了“焦点弦”的问题、弦长公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．