Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx(a、b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵f(1＋x)＝f(1－x)， 　　∴－＝1， 　　又方程f(x)＝x有等根Û ax2＋(b－1)x＝0有等根， 　　∴Δ＝(b－1)2＝0Þ b＝1Þ a＝－， 　　∴f(x)＝－x2＋x． 　　(Ⅱ)∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x＝1， 　　1．当m≥1时，f(x)在[m，n]上是减函数， 　　∴3m＝f(x)min＝f(n)＝－n2＋n(*)， 　　3n＝f(x)max＝f(m)＝－m2＋m， 　　两式相减得：3(m－n)＝－ (n2－m2)＋(n－m)， 　　∵1≤m＜n，上式除以m－n得：m＋n＝8， 　　代入(*)化简得：n2－8n＋48＝0无实数解． 　　2．当n≤1时，f(x)在[m，n]上是增函数， 　　∴3m＝f(x)min＝f(m)＝－m2＋m， 　　3n＝f(x)max＝f(n)＝－n2＋n， 　　∴m＝－4，n＝0． 　　3．当m≤1≤n时，对称轴x＝1Î [m，n]， 　　∴3n＝f(x)max＝f(1)＝Þ n＝与n≥1矛盾． 　　综合上述知，存在m＝－4、n＝0满足条件．