Question

（本题满分12分）

  已知椭圆：（）的离心率，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线（是坐标原点）与椭圆相交于点，试证明在椭圆上存在不同于、的点，使（不需要求出点的坐标）．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，        ，从而  ……2分，点在椭圆上，所以                          ……3分，

解得，                                         ……4分，

椭圆的方程为                                    ……5分

（Ⅱ）由得，             ……6分，

由椭圆的对称性知，                             ……7分，由，知                               ……8分，所以直线的方程为，即       ……9分，由……11分，    得……10分，                                    ……11分，所以直线与椭圆有两个不同的交点，即在椭圆上存在不同于、的点，使                                     ……12分。