Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+

1

2

f′(

π

12

)cos2x+f′(

π

4

)．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(

π

12

，

π

3

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数公式先求出f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质即可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）根据不等式恒成立的条件，将条件进行转化，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

3

sin2x+

1

2

f′(

π

12

)cos2x+f′(

π

4

)．
∴f'（x）=2

3

cos2x-f′(

π

12

)sin2x，
令x=

π

12

，得f′(

π

12

)=2

3

×

3

2

-f′(

π

12

)×

1

2

，
解得f′(

π

12

)=2，
f′(

π

4

)=2

3

cos?

π

2

-f′(

π

12

)sin

π

2

=-f′(

π

12

)=-2，
∴f（x）=

3

sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+

π

6

)-2，
∴函数的最小周期T=π，最小值为-4．
（2）由（1）知，f（x）=

3

sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+

π

6

)-2，
当x∈(

π

12

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈(

π

3

，

5π

5

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴-1≤f（x）≤0，
又不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(

π

12

，

π

3

]恒成立，
∴

m＜f(x)+3 m＞f(x)-3

，
∴

m＜fmin(x)+3 m＞fmax(x)-3

，
即-3＜m＜2．

点评：本题主要考查导数的计算，以及三角函数的图象和性质的应用，利用三角函数的公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．