Question

已知函数f(x)=|3-

1

x

|，x∈(0，+∞)．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，b（0＜a＜b）使函数y=f（x）定义域值域均为[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将原含有绝对值的函数化成分段函数的形式，再画出其图象，观察图象可得f（x）的单调区间；
（2）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：当a≥

1

3

时，当0＜a＜

1

3

＜b时，当b≤

1

3

时，分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）易知   f(x)=

3- 1 x ，x＞ 1 3 1 x -3，0＜x≤ 1 3

即单调减区间为(0，

1

3

)；单调增区间为(

1

3

，+∞)

（2）因为f(x)=|3-

1

x

|的定义域与值域均为[a，b]
①当a≥

1

3

时，f（x）在区间[a，b]上递增
所以

f(a)=a f(b)=b

⇒

1 3 -a=a 1 3 -b=b

⇒

a= 3- 5 2 b= 3+ 5 2

；
②当0＜a＜

1

3

＜b时，f（x）在[a，

1

3

)递减，在[

1

3

，b]上递增
值域为[a，b]，即a=0，与题矛盾；
③当b≤

1

3

时，f（x）在[a，b]上递减
所以

f(a)=b f(b)=a

⇒

1 a -3=b 1 b -3=a

⇒不合题意
综上所述，a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

．

点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考察了绝对值函数，函数的定义域、值域，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，本题考察了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，本题易因为考虑不完善出错．