Question

6．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=lg[f（x）-1]的定义域．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象得出A、ω与φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）根据对数函数的定义，得出f（x）-1＞0，再利用三角函数的图象与性质求出x的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=2，
$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2；
又f（$\frac{π}{6}$）=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
∴φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）∵函数g（x）=lg[f（x）-1]，
∴f（x）-1＞0，
∴f（x）＞1；
又f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{5π}{6}$，
解得kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∴g（x）的定义域为$\left\{{x|kπ＜x＜kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\right\}$．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，以及对数函数的定义域问题，是基础题目．