Question

已知

A

5 n

=56

C

7 n

，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，将

A

5 n

=56

C

7 n

按排列、组合公式展开化简可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a₀=1，两式相减可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，
由

A

5 n

=56

C

7 n

得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

即（n-5）（n-6）=90
解之得：n=15或n=-4（舍去）．
∴n=15．
（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，
令x=0得：a₀=1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．

点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法．