Question

已知

A

5 n

=56

C

7 n

，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．

Answer 1

分析：（1）根据题意，将

A

5 n

=56

C

7 n

按排列、组合公式展开化简可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；
（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a₀=1，两式相减可得答案．
（3）根据展开式的通项公式，可得展开式中第r+1项的系数绝对值为 2^r•

C

r 15

．由

2r• C  r 15 ≥2 r-1 C  r-1 15 2r• C  r 15 ≥2 r+1 •C r+1 15

求得 r=10，可得展开式中系数绝对值最大的项是第11项．

解答：解：（1）∵已知

A

5 n

=56

C

7 n

，∴n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

，
即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），∴n=15．
（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，再令x=0得：a₀=1，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
（3）展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 15

 •(-2x) r，故展开式中第r+1项的系数绝对值为 2^r•

C

r 15

．
由

2r• C  r 15 ≥2 r-1 C  r-1 15 2r• C  r 15 ≥2 r+1 •C r+1 15

 解得

29

3

≤r≤

32

3

，
∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．

点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．