Question

已知函数f(x)=

2x+3

x+1

    (x≠-1)．
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f^-1（x）；
（3）证明：f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）将函数f(x)=

2x+3

x+1

  的解析式化为f （ x ）=2+

1

x+1

    ，根据反比例函数的图象和性质，可求出函数f （ x ）的值域；
（2）先将函数f （ x ）进行变形成用y表示x的形式，可得函数f （ x ）的反函数f^-1（x）；
（3）结合（2）中所得反函数f^-1（x）的解析式，任取区间（2，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，然后根据函数单调性的定义，可得结论．

解答：解：（1）函数f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∵

1

x+1

≠0    
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∴y-2=

1

x+1

    
∴x+1=

1

y-2

∴x=

1

y-2

-1（y≠2）
即f^-1（x）=

1

x-2

-1（x≠2）
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-2＞0，x₂-2＞，x₂-x₁＞0
则f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-2

-1）-（

1

x2-2

-1）
=

1

x1-2

-

1

x2-2

=

x2-x1

(x1-2)•(x2-2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数

点评：本题考查的知识点是函数的值域，反函数，函数的单调性的判断与证明，其中（1）要熟练掌握求函数值域的方法--分离常数法，（2）要掌握求反比例函数的方法和步骤，解答中易忽略反函数的定义域，（3）要掌握利用定义法（作差法）证明函数单调性的方法和步骤．