Question

(21)如图,P是抛物线C:y=x²上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q.

(Ⅰ)当点P的横坐标为2时,求直线l的方程;

(Ⅱ)当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.

Answer 1

(21)本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.

解：(Ⅰ)把x=2代入y=x²,得y=2,

∴点P坐标为(2,2).

由y=x²,                                                     ①

得y′=x,∴过点P的切线的斜率k_切=2,直线l的斜率k_l=－=－,

∴直线l的方程为y－2=－(x－2),

即x+2y－6=0.

(Ⅱ)设P(x₀,y₀),则y₀=x₀².

∵过点P的切线斜率k_切=x₀,当x₀=0时不合题意,

∴x₀≠0.∴直线l的斜率k_l=－=－,

直线l的方程为y－x₀²=－(x－x₀).           ②

方法一：

联立①②消去y,得x²+－2=0.

设Q(x₁,y₁),M(x,y).

∵M是PQ的中点,

∴

消去x₀,得

y=x²++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.

由x≠0知x²>0,∴y=x²++1≥2+1=+1.

上式等号仅当x²=,即x=±时成立,所以点M到x轴的最短距离是+1.

方法二：

设Q(x₁,y₁),M(x,y),则

y₀=x₀²,y₁=x₁²,x=.

∴y₀－y₁=x₀²－x₁²=(x₀+x₁)(x₀－x₁)=x(x₀－x₁),

∴x==k_l=－.

∴x₀=－.

将上式代入②并整理,得

y=x²++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.

由x≠0知x²>0,∴y=x²++1≥2+1=+1.

上式等号仅当x²=,即x=±时成立,所以点M到x轴的最短距离是+1.