Question

已知函数f（x）=log₃，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是f（x）图象上的两点，且x₁+x₂=1．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若S_n=f（）+f（）+…+f（）（n∈N^*，N≥2），求S_n；
（3）在（2）的条件下，若a_n=（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和．求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据函数的表达式求y₁+y₂=log₃+lo₃=lo₃，再结合x₁+x₂=1即可得出答案；
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1，从而有S_n=f（）+f（）+…+f（）①再将此式倒序又得一式：S_n=f（）+…+f（）+f（）两式相加即可；
（3）当n≥2时，a_n=，从而利用裂项求和法即可得出T_n结果．
解答：解：（1）证明：由x₁+x₂=1，
y₁+y₂=log₃+lo₃=lo₃=1，
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
S_n=f（）+f（）+…+f（）①
S_n=f（）+…+f（）+f（）  ②
①+②得S_n=
（3）当n≥2时，
a_n==
又当n=1时，a₁=所以a_n=
故T_n=（）+（）+…+（-）=．
点评：本题主要考查数列与函数的综合，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力．