Question

设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.

(Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；

(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.

Answer 1

分析：由对称轴是x=，可知2×+φ使f(x)取最值，即+φ=kπ+.(k∈Z)，从而可求φ；由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为＞2说明直线和f(x)的图象不能相切.

解：(Ⅰ)解法1：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，

    所以sin(2·+φ)=±1,

    则有+φ=kπ+,k∈Z.

    因为-π＜φ＜0,

   所以φ=-.

解法2：函数y=sin 2x图像的对称轴为

x=+,k∈Z.

y=sin(2x+φ)的图像由y=sin 2x的图像向左平移得到，所以有+-=  k∈Z.

∵-π＜φ＜0,

∴φ=-π.

解法3：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴.

    所以f(-x)=f(+x).

    即sin［2(-x)+φ］=sin［2(+x)+φ］，

    于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),

    或［2(-x)+φ］+［2(+x)+φ］=2kπ+π.

    因为-π＜φ＜0，∴φ=-π.

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π)，

    由题意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),

    所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

解法2：由y′=2cos(2x-π)≥0可得，

2kπ-≤2x-π≤2kπ+  k∈Z,

    所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为［kπ+,kπ+π］  k∈Z,

(Ⅲ)解法1：因为|y′|=|［sin(2x-π)］′|=|2cos(2x-π)|≤2,

    所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为［-2,2］，而直线5x-2y+c=0的斜率＞2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图象不相切.

解法2：令F(x)=sin(2x-π)-,

    则F′(x)=2cos(2x-π)-,

∵-1≤cos(2x-π)≤1，

∴F′(x)≠0.

    则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图像不相切.