Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点.

(1)试证:CD⊥平面BEF;

(2)设PA=k·AB，且二面角E—BD—C的平面角大于30°,求k的取值范围.

Answer 1

(1)证明:由已知DFAB且∠DAB为直角,故ABFD是矩形.从而CD⊥BF.又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,故由三垂线定理知CD⊥PD.

    在△PDC中 ,E、F分别为PC、CD的中点.

    故EF∥PD,从而CD⊥EF,由此得CD⊥面BEF.

(2)解:连结AC交BF于G,易知G为AC的中点.连结EG.则在△PAC中易知EG∥PA.又因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.在底面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连结EH.由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.

    设AB=a,则在△PAC中,有EG=PA=ka.

    以下计算GH.考虑底面的平面图(如右图),连结GD,因S_△GBD=BD·GH=GB·DF，故GH=GB·DFBD.在△ABD中,因AB=a,AD=2a,得BD=a.

    而GB=FB=AD=a,DF=AB,从而得GH=a.

    因此tanEHG=k.

    由k＞0知∠EHG是锐角,故要使∠EHG＞30°,必须k＞tan30°=,解之,得k的取值范围为k＞.