Question

函数f(x)＝x²－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定

[　　]

A．有最小值

B．有最大值

C．是减函数

D．是增函数

Answer 1

答案：D
解析：

解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，即a＜1．g(x)＝＝x＋－2a，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2a)－(x2＋－2a)＝(x1－x2)＋() 　　＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)． 　　∵1＜x1＜x2， 　　∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0． 　　又∵a＜1，∴x1x2＞a． 　　∴x1x2－a＞0． 　　∴g(x1)－g(x2)＜0．∴g(x1)＜g(x2)． 　　∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值，故选D．

提示：

定义法判断函数f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值．