Question

已知点P(0,5)及圆C：x²＋y²＋4x－12y＋24＝0

（I）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

（II）求过P点的圆C的弦的中点D的轨迹方程

 

Answer 1

【答案】

（1）直线的方程为：或 （2） 

【解析】

试题分析：（1）根据弦长和半径，可求出圆心到直线的距离为2 当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：即 由点到直线的距离公式即可求出k的值，从而得直线的方程 然后再考虑斜率不存在时的情况  （2）设过点P的圆C的弦的中点为，则 即 由此等式即可得中点D的轨迹方程 这属于利用等量关系求轨迹方程的问题 

试题解析：（1）如图所示，，设是线段的中点，则 

 点C的坐标为（－2，6） 在中，可得 

设所求直线的方程为：即 

由点到直线的距离公式得： 

此时直线的方程为：               4分

又直线的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为： 

所以所求直线的方程为： 或           6分

（2）设过点P的圆C的弦的中点为，则 即 

所以化简得所求轨迹的方程为：     12分

考点：1、直线与圆的方程；2、轨迹的方程