Question

在等差数列{a_n}中，满足2a₄＝5a₇，且a₁＞0，S_n是数列{a_n}的前n项和，若S_n取最大值时，求n的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路与技巧：解决此题的关键，应先根据条件求通项，再根据等差数列特点，求使Sn最大时的n值． 　　 　　 　　评析：公差不为0的等差数列：①通项公式结构an＝kn＋b，故a1＞0且d＜0时，Sn有最大值；当a1＜0且d＞0时，Sn有最小值．②前n项和公式结构Sn＝an2＋bn，当d＞0时为开口向上的抛物线；当d＜0时为开口向下的抛物线，利用二次函数性质并结合图象可使问题更加直观，揭示问题本质．其实求等差数列前n项和的最值一般就两个思路． 　　思路一：(1)若d＞0且a1≥0，则有0≤a1＜a2＜a3＜…＜an－1＜an＜… 　　∴S1＜S2＜S3＜…＜Sn－1＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是S1． 　　(2)若d＞0，且a1＜0， 　　则一定存在某一自然数k，使a1＜a2＜a3＜…＜ak≤0＜ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　或a1＜a2＜a3＜…＜ak＜0≤ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　则0＞S1＞S2＞…＞Sk，且Sk＜Sk+1＜Sk+2＜…＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是Sk． 　　(3)若d＜0，而a1＞0，必存在自然数k使a1＞a2＞a3＞…＞ak≥0＞ak+1＞ak+2＞…＞an＞…或a1＞a2＞a3＞…＞ak＞0≥ak+1＞ak+2＞…＞an＞… 　　则S1＜S2＜S3＜…＜Sk，且Sk＞Sk+1＞…＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是Sk． 　　(4)若d＜0，且a1≤0，则有0≥a1＞a2＞a3＞…＞an－1＞an＞… 　　∴S1＞S2＞S3＞…＞Sn－1＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是S1．