Question

（本题满分10分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。

Answer 1

（2）

解析:

：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），

M（0，1，.

（Ⅰ）证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两

条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.       3分

（Ⅱ）解：因

6分

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使                     8分

为所求二面角的平面角.

10分

点评：本题考查空间向量的运用，用空间向量研究线面垂直、求线面所成角、面面所成角，属于中档与较难题