Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证k_OA•k_OB=-1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．
（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S_△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线和x轴交点为N，利用S_△OAB=|AB|•|y₁-y₂|．
解答：解：（1）由方程y²=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky²+y-k=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韦达定理y₁•y₂=-1．
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=•===-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=|ON||y₁|+|ON||y₂|
=|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=•1•
=．
∵S_△OAB=，
∴=．解得k=±．
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x是最简捷的．