Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且s_n=2a_n-1．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，
（2）若b_n=log₂a_n+1，求通项b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知s_n=2a_n-1，令n=1可求a₁，利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，即可得证数列{a_n}为等比数列，
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，将其代入b_n=log₂a_n+1中，即可得答案，
（3）先求出数列{c_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答：解（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0．
当n≥2时，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}为等比数列，
且其首项a₁=1，公比为2，则a_n=2^n-1，
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，
则b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，即b_n=n；
（3）c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，
S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1
∴2S_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ，
则S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和；在证明数列{a_n}为等比数列时，要验证a₁≠0．