Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=1,S_n²=a_n(S_n)(n∈N^*).

(1)证明数列{}为等差数列;

(2)设b_n=,求{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

答案：(1)证明:∵S_n²=a_n(S_n),a_n=S_n-S_n-1(n≥2),∴S_n²=(S_n-S_n-1)(S_n),即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n.

由题意,S_n-1S_n≠0,∴=2(n≥2).∴{}是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解:由(1)知=1+2(n-1)=2n-1,∴S_n=.

∴b_n=().

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=［(1)+()+…+()］

=(1)=.