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    设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要条件是xy≥0.

     

    答案：
    解析：

    分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：

    ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.

    证明：①充分性

    若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0.

    此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

    若xy＞0，则x，y同号.

    当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜；

    当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜

    综上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

    ②必要性

    ∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

    ∴(x＋y)2＝（｜x｜＋｜y｜）2

    即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2

    xy＝｜xy｜xy≥0.

    因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.

    故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

     


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