Question

已知数列a_n满足．
（1）求a₂，a₃，a₄；并求证：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），（m∈N^*）；
（2）设，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可求得a₂，a₃和a₄，把2m+1代入题设递推式，利用诱导公式整理求得a_2m+1=2a_2m，同理求得a_2m=a_2m-1+1，进而整理求得a_2m+1+2=2（a_2m-1+2）
（2）根据（1）可判断出数列a_2m-1+2是公比为2的等差数列，进而求得其通项公式，求得a_2m-1，则a_2m可得，进而分n为奇数和偶数求得其通项公式，代入b_n中利用不等式的传递性整理，最后利用等比数列的求和公式证明原式．
解答：解：（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
证明：a_2m+1==2a_2m，
a_2m=a_2m-1+1，则a_2m+1=2a_2m-1+2，
∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2）
证明：（2）由（1）可得：，数列a_2m-1+2是公比为2的等差数列，
a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1得：a_2m-1=-2+3•2^m-1（m∈N^*），
，
所以：
而当n≥2时，-1+3•2^n-2≥2，故
则，
从而
=
点评：本题主要考查了数列与三角函数，不等式的综合运用．考查了学生分析推理和运算能力．