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    f(x)=
    		3
    cos2
    1
    2
    x+sin
    1
    2
    xcos
    1
    2
    x    ．
    （1）将f（x）化为Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜
    π
    2
    )    的形式；
    （2）写出f（x）的最值及相应的x值；
    （3）若-
    π
    3
    ＜α＜
    π
    6
    ，且f(α)=
    3
    5
    +
    		3
    2
    ，求cos2α．
    分析：（1）根据二倍角公式与两角和的正弦公式可得答案．
    （2）利用x+
    π
    3
    =2kπ-
    π
    2
    ，k∈Z    ，进而求出函数的最大值以及取最大值时x的数值．利用x+
    π
    3
    =2kπ+
    π
    2
    ，k∈Z    ，进而求出函数的最小值以及取最小值时x的数值．
    （3）由题意可得sin(α+
    π
    3
    )=
    3
    5
    ，进而结合题意得到cos(α+
    π
    3
    )=
    4
    5
    ，即可得到sin(2α+
    2π
    3
    )， cos(2α+
    2π
    3
    )    ，
    所以得到cos2α=cos[(2α+
    2π
    3
    )-
    2π
    3
    ]    的数值．
    解答：解：（1）由题意可得：
    f(x)=
    		3
    cos2
    1
    2
    x+sin
    1
    2
    xcos
    1
    2
    x
    =
    		3
    •
    1+cosx
    2
    +
    1
    2
    sinx
    =sin(x+
    π
    3
    )+
    		3
    2
    ．
    （2）当x+
    π
    3
    =2kπ-
    π
    2
    ，k∈Z    ，即x=2kπ-
    5π
    6
    ，k∈Z    时，
    则f（x）得到最小值-1+
    		3
    2
    ．
    当x+
    π
    3
    =2kπ+
    π
    2
    ，k∈Z    ，即x=2kπ+
    π
    6
    ，k∈Z    时，
    则f（x）得到最大值1+
    		3
    2
    ．
    （3）由f(α)=sin(α+
    π
    3
    )+
    		3
    2
    =
    3
    5
    +
    		3
    2
    可得sin(α+
    π
    3
    )=
    3
    5
    ，
    ∵-
    π
    3
    ＜α＜
    π
    6
    ，
    ∴0＜α+
    π
    3
    ＜
    π
    2
    ，
    ∴cos(α+
    π
    3
    )=
    4
    5
    ，
    ∴sin(2α+
    2π
    3
    )=2sin(α+
    π
    3
    )•cos(α+
    π
    3
    )=
    24
    25

    cos(2α+
    2π
    3
    )=2cos2(α+
    π
    3
    )-1=
    7
    25

    ∴cos2α=cos[(2α+
    2π
    3
    )-
    2π
    3
    ]
    =cos(2α+
    2π
    3
    )cos
    2π
    3
    +sin(2α+
    2π
    3
    )sin
    2π
    3

    =
    24
    		3
    -7
    50
    ．
    点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式与两角和的正弦公式，以及正弦函数的一个性质．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
    		3
    cos2ωx+sinωxcosωx+α    （其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
    π
    6
    ．
    （I）求ω的值．
    （II）如果f（x）在区间[-
    π
    3
    ，
    5π
    6
    ]    上的最小值为
    		3
    ，求α的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    		3
    cos2ωx+sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)    图象的两相邻对称轴间的距离为
    π
    2
    ．
    （1）求ω值；
    （2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
    （3）已知f（x）在区间[0，
    π
    2
    ]    上的最小值为1，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    f(x)=
    		3
    cos2ωx+sinωxcosωx    ，其中ω＞0，且f（x）的图象在y轴右侧第一个最高点的横坐标为
    π
    6
    ，
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）写出f（x）的单调递减区间（只写结果不用写出步骤）；
    （Ⅲ）由y=sinx的图象，经过怎样的变换，可以得到f（x）的图象？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
    		3
    cos2ωx+sinωxcosωx，(ω＞0)    ，且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
    π
    6
    ．
    （1）求ω的值；
    （2）若x∈[-
    π
    3
    ，
    5π
    6
    ]    ，求f（x）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=3cos2ωx+
    		3
    sinωxcosωx+a(ω＞0)    ，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
    π
    2

    （1）求ω的值，
    （2）若当x∈[
    π
    6
    ，
    5π
    12
    ]    时，f（x）的最小值为2，求a的值，
    （3）求函数f（x）在区间[0，
    π
    2
    ]    上的递减区间．

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