Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.

(1)求证:OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值.

Answer 1

(1)证明:如右图，由方程组消去x后，整理得ky²+y-k=0.

设A(x₁，y₁)、Ｂ(x₂，y₂)，由韦达定理y₁·y₂=-1.

∵A、B在抛物线y²=-x上，

∴y₁²=-x₁,y₂²=-x₂，y₁²·y₂²=x₁x₂．

∵k_OA·k_OB=·===-1,

∴OA⊥OB.

(2)解:设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0,则x=-1，即N(-1,0).

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON|·|y₁-y₂|，

∴S_△OAB=·1·=.

∵S_△OAB=，∴=.解得k=±.

点评:联立直线方程与圆锥曲线方程,利用韦达定理化简是本部分的基本方法.