Question

已知椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1，直线l过点P（-2，1）交椭圆C于A、B两点．
（1）若P是AB中点，求直线l的方程及弦AB的长；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-2，1）是AB中点，利用点差法能求出直线l的方程，利用弦长公式能求出弦AB的长．
（2）设AB的中点M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1，利用点差法能求出弦AB中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（-2，1）是AB中点，
∴x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1，
得

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，
整理，得：-4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直线AB的方程：y-1=x+2，整理，得x-y+3=0．
联立

x-y+3=0 x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+12x+10=0，
∴x1+x2=-4，x1x2=

10

3

，
∴|AB|=

(1+1)[(-4)2-4× 10 3 ]

=

4

3

3

．
（2）设AB的中点M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1，
得

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，
整理，得：2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，
又直线AB过P（-2，1），M（x，y），
∴k=

y-1

x+2

=-

x

2y

，
整理，得x²+2y²+2x-2y=0．
当直线AB的斜率k不存在时，满足上式，
∴弦AB中点M的轨迹方程为x²+2y²+2x-2y=0．

点评：本题考查直线方程与弦长的求法，考查弦的中点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．