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    已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R).

    (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;

    (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围.


    解:(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,

    且-=-1,∴a=1,b=2.

    ∴f(x)=x2+2x+1,

    单调减区间为(-∞,-1],

    单调增区间为[-1,+∞).

    (2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,

    转化为x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.

    设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],

    则g(x)在[-3,-1]上递减.

    ∴g(x)min=g(-1)=1.

    ∴k<1,即k的取值范围为(-∞,1).


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