Question

已知函数f(x)=(x≠-1),设数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=f(a_n)，数列{b_n}满足b_n=|a_n-|,用数学归纳法证明b_n≤.

Answer 1

思路点拨：由递推关系先得到a_n≥1(n∈N^*)，再把b_n=|a_n-3|这一关系利用到从k到k+1的过程中.

解：当x≥0时，f(x)=1+≥1.

    因为a₁=1，所以a_n≥1(n∈N^*).

    下面用数学归纳法证明不等式b_n≤.

（1）当n=1时，b₁=-1，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即b_k≤,那么b_k+1=|a_k+1-|=≤b_k≤.

    所以，当n=k+1时，不等式也成立.

    根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N^*都成立.