Question

求证:关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.

Answer 1

证明：(1)必要性:

∵x=1是方程ax²+bx+c=0的根,

∴a+b+c=0.

(2)充分性:

∵a+b+c=0,

∴c=-(a+b).

∴ax²+bx+c=0ax²+bx-(a+b)=0(x-1)(ax+a+b)=0.若a=0,则b≠0,

∴x=1;若a≠0,则x=1或,即方程ax²+bx+c=0有一根x=1.由(1)、(2)可知,命题?成立.