Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设{a_n}的前n项和S_n，证明：S_n＞2-．

Answer 1

【答案】分析：（1）a₁=1，再a_n=（n≥2）中令n=2求a₂，令n=3求a₃．
（2）由a_n=（n≥2），两边取倒数，得出=，令c_n=，构造得出数列{c_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
通过数列{c_n+1}的通项公式求a_n．
（3）由（2）a_n=，直接求S_n不易求．将每项进行缩小，a_n=＞，利用错位相消法将右边相加、化简后，即可证明．
解答：解：（1），
（2）a_n=（n≥2）．
∴=，
令c_n=，则c_n=2c_n-1+1，c_n+1=2（c_n-1+1），
又c₁+1==2，所以数列{c_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以c_n+1=2ⁿ，c_n=2ⁿ-1，
∴a_n=
（3）a_n=＞，所以S_n＞a₁+a₂+…+a_n=
令T_n=①
则=②
①-②得==
T_n=2-．
所以S_n＞2-．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式求解，数列求和，放缩法不等式的证明，考查计算能力，转化思想．