Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若cosC=

6

3

，求c；
（2）求

BA

•

BC

的最大值．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）由已知得2B=A+C，从而B=

π

3

，由正弦定理，得

AB

sinC

=

AC

sinB

，由此能求出c．
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2acosB，又a²+c²≥2ac，由此能求出

BA

•

BC

的最大值．

解答： 解：（1）∵三个内角A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，∴B=

π

3

，
又cosC=

6

3

，∴sinC=

3

3

，
由正弦定理，得

AB

sinC

=

AC

sinB

，
∴AB=

AC

sinB

×sinC=

3

3 2

×

3

3

=2．
即c=2．
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2acosB，
即3²=a²+c²-ac，
又a²+c²≥2ac，
当且仅当a=c时，取等号，
∴9=a²+c²-ac≥ac，
∴

BA

•

BC

=

1

2

ac≤

9

2

．
∴

BA

•

BC

的最大值为

9

2

．

点评：本题考查三角形的边长的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、数列知识的合理运用．