Question

5．已知函数f（x）=（ax²-lnx）（x-lnx）+1（a∈R）．
（1）若ax²＞lnx，求证：f（x）≥ax²-lnx+1；
（2）若?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1+x₀lnx₀-ln²x₀，求a的最大值；
（3）求证：当1＜x＜2时，f（x）＞ax（2-ax）．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=x-lnx（x＞0），通过求导结合单调性可知当x＞0时g（x）≥g（1）=1，进而代入f（x）解析式即得结论；
（2）通过对f（x₀）=1+x₀lnx₀-ln²x₀因式分解可知a=$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}}$，设h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），则问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数工具计算可得结论；
（3）通过配方、变形、放缩可知f（x）≥1-$\frac{{x}^{2}（ax-1）^{2}}{4}$，利用当1＜x＜2时-x²∈（-4，-1）继续放缩可知f（x）≥ax（2-ax），通过反证法可排除等号成立情况．

解答 （1）证明：设g（x）=x-lnx（x＞0），则g'（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）递减；
当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．
所以当x＞0时，g（x）≥g（1）=1．
∵ax²＞lnx，
∴ax²-lnx＞0，
∴f（x）≥ax²-lnx+1；
（2）∵f（x₀）=1+x₀lnx₀-ln²x₀，
∴a${x}_{0}^{2}$-2lnx₀=0或x₀-lnx₀=0（由（1）知不成立），即a=$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}}$，
设h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），则h'（x）=$\frac{2（1-2lnx）}{{x}^{3}}$．
当0＜x＜${e}^{\frac{1}{2}}$时，h'（x）＞0，函数h（x）递增；
当x＞${e}^{\frac{1}{2}}$时，h'（x）＜0，函数h（x）递减；
∴当x＞0时，h（x）=h（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{e}$，∴a的最大值为$\frac{1}{e}$；
（3）证明：f（x）=（ax²-lnx）（x-lnx）+1
=ln²x-（x+ax²）lnx+ax³+1
=$（lnx-\frac{x+a{x}^{2}}{2}）^{2}$+ax³+1-$\frac{（x+a{x}^{2}）^{2}}{4}$
=$（lnx-\frac{x+a{x}^{2}}{2}）^{2}$+1-$\frac{（x-a{x}^{2}）^{2}}{4}$
=$（lnx-\frac{x+a{x}^{2}}{2}）^{2}$+1-$\frac{{x}^{2}（ax-1）^{2}}{4}$
≥1-$\frac{{x}^{2}（ax-1）^{2}}{4}$，
当1＜x＜2时，-x²∈（-4，-1），
∴1-$\frac{{x}^{2}（ax-1）^{2}}{4}$≥1-（ax-1）²=ax（2-ax），
故f（x）≥ax（2-ax），
等号若成立，则$\left\{\begin{array}{l}{lnx=\frac{x+a{x}^{2}}{2}}\\{ax=1}\end{array}\right.$，即lnx=x，由（1）知lnx=x不成立，故等号不成立，
从而当1＜x＜2时，f（x）＞ax（2-ax）．

点评 本题是一道关于导数的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．