Question

16．已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1-3，（n∈N^*），a₃=5．各项都为正数的等比数列{b_n}中，b₁=a₂，b₃=a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前10项和S₁₀；
（2）若m=b₂b₃b₄b₅b₆b₇，试求m的值及数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n=a_n+1-3，（n∈N^*），即a_n+1-a_n=3，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3，
又a₃=5，∴a₁+2×3=5，解得a₁=-1．
∴a_n=-1+3（n-1）=3n-4．
S₁₀=$\frac{10（-1+3×10-4）}{2}$=125．
（2）设各项都为正数的等比数列{b_n}的公比为q＞0，
∵b₁=a₂=2，b₃=a₄=8，
∴8=2q²，q＞0，解得q=2．
∴b_n=2ⁿ．
m=b₂b₃b₄b₅b₆b₇=2²×2³×…×2⁷=2^2+3+…+7=${2}^{\frac{6×（2+7）}{2}}$=2²⁷．
数列{b_n}的前n项和B_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．