Question

20．函数g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在区间（-∞，$\frac{a}{3}$）内单调递减，则a的取值范围为（　　）

• A． a≥1
• B． a≤1
• C． a≥-1
• D． -1≤a≤0

Answer 1

分析 由g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）递减，则g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a＞0，（3）a＜0时的情况，从而求出a的范围．

解答 解：∵g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）递减，
则g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，即：3ax²+4（1-a）x-3a≤0，
（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（-∞，0），
∴$\frac{a}{3}$≤0，才能g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）递减，解得a=0 成立．
（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0 解得：a无解；
（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，
设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x₁，0），B（x₂，0）
由韦达定理，知x₁+x₂=-$\frac{4（1-a）}{3a}$，x₁x₂=-1，
解得：x₁=-$\frac{2（1-a）+\sqrt{13{a}^{2}-8a+4}}{3a}$，
则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）递减，
即g′（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）上小于等于0，
∴x₁≥$\frac{a}{3}$，即：解得-1≤a≤5，取交集，得-1≤a＜0，
∴a的取值范围是-1≤a≤0．
故选：D．

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．