Question

如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC=BC=AA₁=2,∠ACB=90°,E为BB₁中点,∠A₁DE=90°.

(1)求证:CD⊥面A₁ABB₁;

(2)求二面角C-A₁E-D的大小;

(3)求三棱锥A₁—CDE的体积.

Answer 1

(1)证明:如图,设AD=x,

∵∠ACB=90°,AC=BC=2,

∴AB=,

BD=-x,BE=1.

又∵∠A₁DE=90°,∠A₁AD=90°,

∴∠EDB+∠ADA₁=90°.

∴∠EDB=∠DA₁A.

∴Rt△AA₁D∽Rt△DEB.

∴.

∴AD=DB=,D为AB中点.

又AC=BC,

∴CD⊥AB.

∵三棱柱为直三棱柱,

∴B₁B⊥面ABC,BB₁⊥CD.

∴CD⊥面A₁ABB₁.

(2)解:作DF⊥A₁E于F,连结CF,

∵CD⊥面A₁ABB₁,

∴CF⊥A₁E.

∴∠CFD是二面角CA₁ED的平面角,A₁D=,.

∵∠A₁DE=90°,

∴,

D.

∴∠CFD=45°,即二面角C-A₁E-D的平面角为45°.

(3)解:∵,在Rt△A₁DE中,A₁D=,DE=,CD=,

∴.