Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{b_n}满足，证明：{b_n}是等差数列；

（3）证明：．

Answer 1

考点：

数列与不等式的综合；数列递推式．

专题：

证明题．

分析：

（1）由题设知a_n+1+1=2（a_n+1），所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n=2ⁿ﹣1．

（2）由题设知，由此能推导出nb_n﹣2=（n﹣1）b_n+1，从而得到2b_n+1=b_n+b_n﹣1，所以数列{b_n}是等差数列．

（3）设，则=，由此能够证明出．

解答：

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）（2分）

故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）

∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ﹣1（4分）

（2）∵，

∴（5分）

2（b₁+b₂++b_n）﹣2n=nb_n①2（b₁+b₂++b_n+b_n+1）﹣2（n+1）=（n+1）b_n+1②

②﹣①得2b_n+1﹣2=（n+1）b_n+1﹣nb_n，

即nb_n﹣2=（n﹣1）b_n+1③（8分）

∴（n+1）b_n+1﹣2=nb_n+2④

④﹣③得2nb_n+1=nb_n+nb_n﹣1，即2b_n+1=b_n+b_n﹣1（9分）

所以数列{b_n}是等差数列．

（3）∵（11分）

设，

则

=（13分）

（14分）

点评：

本题考查数列和不等式的综合应用题，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．