Question

（2012•乐山二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱BB₁的中点．
（1）求平面A₁DM与平面ABCD所成的锐二面角的大小；
（2）求点B到平面A₁DM的距离．

Answer 1

分析：（1）延长A₁M，与AB的延长线交于点O，连接OD，过B作BE⊥DO，垂足为E，连接ME，则ME⊥DO，可得∠MEB为平面A₁DM与平面ABCD所成的锐二面角的平面角；
（2）过点B做BF⊥ME，证明BF⊥平面A₁DM，从而BF为点B到平面A₁DM的距离，利用等面积，即可求BF⊥平面A₁DM
∴BF为点B到平面A₁DM的距离，

解答：解：（1）延长A₁M，与AB的延长线交于点O，连接OD，过B作BE⊥DO，垂足为E，连接ME，则ME⊥DO
∴∠MEB为平面A₁DM与平面ABCD所成的锐二面角的平面角
∵M为棱BB₁的中点，棱长为2，
∴MB=1
∵DO•BE=AD•BO
∴BE=

2 5

5

∴tan∠MEB=

MB

BE

=

5

2

∴所求二面角的大小为arctan

5

2

；
（2）过点B做BF⊥ME，
由（1）知DO⊥平面MBE
∵DO?平面A₁DM
∴平面A₁DM⊥平面MBE
∵BF⊥ME，平面A₁DM∩平面MBE=ME
∴BF⊥平面A₁DM
∴BF为点B到平面A₁DM的距离，
∵BE=

2 5

5

，MB=1
∴ME=

3 5

5

∵ME•BF=MB•BE
∴BF=

MB•BE

ME

=

1• 2 5 5

3 5 5

=

2

3

．

点评：本题考查面面角，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．