Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有k_CM•k_l=-1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解．
解答：解：圆C化成标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|²=（）²=2（1-a）²
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或，
当a=时，b=-，此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，本题是一道探究题，出题新颖，体现知识的灵活运用．