Question

18.如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos.求四面体ABCD的体积.

Answer 1

18.解法一：如图建立空间直角坐标系.

由题意，有A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0），

设D点的坐标为（0，0，z）（z>0），

则={1，1，0}，={0，－2，z}.            

设与所成的角为θ，

则=cosθ=－2，

且AD与BE所成的角的大小为arccos，

∴cos²θ==，得z=4，故BD的长度是4.                        

 

又V_ABCD=AB×BC×BD，因此四面体ABCD的体积是.                     

 

解法二：过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，

∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，

∴∠DAF=arccos.                               

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，AF=2BE=2.                                                           

又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA，

∴DF=DA.                                     

三角形ADF是等腰三角形，AD==，

故BD==4.                         　   

 

又V_ABCD=AB×BC×BD，

因此四面体ABCD的体积是.