Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=，记b_n=a_2n（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令c_n=，证明：c_n≤（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答时：
（Ⅰ）首先由b_n=a_2n可推得：从而获得数列{b_n}是首项和公比都为的等比数列，进而用等比数列的通项公式即可获得问题的解答；
（Ⅱ）利用第一问的结论再结合等比数列的前n项和公式可得：（n≥2）．又因为：对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
则λ大于等于1+S_n-1的最大值，故λ的取值范围是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一问的结论对C_n进行化简，然后利用作差法即可获得数列在不同范围上的单调性，进而求得数列{c_n}的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因为b_n=a_2n，由已知可得，

=．
又a₁=1，则．
所以数列b_n是首项和公比都为的等比数列，
故．
∴数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式为：．
（Ⅱ）因为=（n≥2）．
若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
则λ≥2，故λ的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）因为，则
=．
当n＜9时，c_n+1-c_n＞0，即c_n＜c_n+1；
当n=9时，c_n+1-c_n=0，即c_n=c_n+1；
当n＞9时，c_n+1-c_n＜0，即c_n＞c_n+1．
所以数列c_n的最大项是c₉或c₁₀，
且，故．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了计算转化的能力、恒成立问题的解答能力以及定义法证明函数单调性的知识．同时作差法、放缩法在题目当中也得到了充分的体现．值得同学们体会反思．