Question

已知数列{a_n}的前n项和．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n与a_n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁，a₂，a₃，a₄的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．
解答：解：（1）计算得；；；．
（2）猜测：．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，
即．
那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又，
所以，
从而．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．