Question

求证:关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.

Answer 1

证明:(1)必要性，即“若x=1是方程ax²+bx+c=0的根，

则a+b+c=0”.

∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a·1²+b·1+c=0,

即a+b+c=0.

(2)充分性，即“若a+b+c=0,则x=1是方程ax²+bx+c=0的根”.

把x=1代入方程的左边，得a·1²+b·1+c=a+b+c.

∵a+b+c=0,

∴x=1是方程的根.

综合(1)(2)知命题成立.