Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2a_n＋1，求证：数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn+1＝2an+1＋1． 　　∴Sn+1－Sn＝(2an+1＋1)－(2an＋1)＝2an+1－2an． 　　∴an+1＝2an　　① 　　又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0． 　　由①知，an≠0， 　　∴由＝2知，数列{an}是等比数列，an＝－2n－1． 　　思路解析：要证数列是等比数列，关键是看an与an－1之比是否为一常数，由题设还需利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an．

提示：

(1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明an≠0是非常重要的．证明中，也可以写出Sn－1＝2an－1＋1，从而得到an＝2an－1，只能得到n≥2时，{an}是等比数列，得到n≥2时，an＝－2n－1，再将n＝1时，a1＝－1代入验证． 　　(2)证明一个数列是等比数列，常用方法是：①要证明一个数列{an}是等比数列，只要证明对于任意自然数n，都等于同一个常数即可．②对于一个数列，除了首项和末项(有穷数列)外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列是等比数列．