Question

已知函数.

（1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

Answer 1

解：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

			0
			0		0
			极小值		极大值

∵，，，

即最大值为，．………………………………………………4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，，

恒成立，即．

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，．………………………………8分

（3）由条件，，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，

不妨设，则，且．

是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

， ，……………………………………10分

是否存在等价于方程在且时是否有解．

①若时，方程为，化简得，

此方程无解；  ………………………………………………………………………12分

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，方程总有解．

对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．