Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M（1，

4 2

3

），N（

3 3

2

，1），梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设AB=m，CD=n，OE=d，试求

m-n

d

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把M、N两点坐标代入椭圆方程解方程组即可；
（Ⅱ）易判断点E在x轴上，则E（d，0），设BD的方程为x=ky+d（k＞0），与椭圆方程联立消x得关于y的一元二次方程，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由韦达定理可得y₁+y₂，进而可把m-n、

m-n

d

用k表示出来，再利用基本不等式即可求得其最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

27 4a2 + 1 b2 =1 1 a2 + 32 9b2 =1

，
解得a²=9，b²=4，
所以椭圆C的方程为：

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）根据对称性可知点E在x轴上，则E点的坐标为（d，0），
设BD的方程为x=ky+d（k＞0），由

x=ky+d x2 9 + y2 4 =1

得（9+4k²）y²+8dky+4d²-36=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

8dk

9+4k2

，
m-n=-2y₁-2y₂=

16dk

9+4k2

，
从而

m-n

d

=

16k

9+4k2

≤

16k

2 9×4k2

=

16k

12k

=

4

3

，
等号当且仅当k=

3

2

取得．

m-n

d

的最大值为

4

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，（Ⅱ）问关键是

m-n

d

表示为k的函数．