Question

11．如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 根据几何概型的概率计算公式，设BC=2AB=2，AF=GD=x，
根据勾股定理求出x的值，由对称性求出阴影面积，计算所求的概率值．

解答 解：长方形ABCD中，设BC=2AB=2，AF=GD=x，
∴FG=2-2x，
由勾股定理得（1-x）²+1²=（2-2x）²，
解得x=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
由对称性知，
S_阴影=$\frac{1}{2}$S_矩形FGJI=$\frac{1}{2}$FG•IF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴该点落在阴影区域内的概率为
P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{长方形ABCD}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题．